Question

已知数列{a_n}中，a₂=p（p是不等于0的常数），S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S_n=

n(an-a1)

2

．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）记b_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）记c_n=T_n-2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有c_n∈（

5

2

，3），若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出数列的递推关系式（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，再通过一步步代换求出数列的通项公式，最后看是否满足等差数列的定义即可证明结论．
（2）先对数列的通项整理得b_n=2+2（

1

n

-

1

n+2

），再利用分组求和法求数列{b_n}的前n项和T_n即可；
（3）先由c_n=T_n-2n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）知其小于3对所有正整数n都成立；下面把c_n＞

5

2

转化为

1

n+1

+

1

n+2

＜

1

4

，利用函数的单调性求出满足条件的n的范围即可求出对应的N值．

解答：解：（1）由S₁=a₁=

a1-a1

2

=0得a₁=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

n-1

2

a_n-1，
故（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
故当n＞2时，a_n=

n-1

n-2

a_n-1=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

••

4

3

•

3

2

•

2

1

•a₂=（n-1）p，
由于n=2时a₂=p，n=1时a₁=0，也适合该式，故对一切正整数n，a_n=（n-1）p，a_n+1-a_n=p，
由于p是常数，故数列{a_n}为等差数列．
（2）S_n=

n(a1+an)

2

=

n(n-1)p

2

，
bn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2n+2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）．
（3）c_n=T_n-2n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3对所有正整数n都成立；
若c_n＞

5

2

，即3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＞

5

2

?

1

n+1

+

1

n+2

＜

1

4

，
记f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

，
则f（n）单调递减，又
f（6）=

1

7

+

1

8

＞

1

8

+

1

8

=

1

4

，
f（7）=

1

8

+

1

9

＜

1

8

+

1

8

=

1

4

，
故只要取N=6，则当n＞N时，f（n）＜

1

4

．
故存在正整数N，使得当n＞N时，恒有c_n∈（

5

2

，3）．N可以取所有不小于6的正整数．

点评：本题主要考查数列的求和以及数列的递推关系式的应用和数列与不等式的综合，是对知识的综合考查，属于难题．