Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上.

（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）12.

【解析】试题分析：（I）设抛物线方程为，由点在上，得，从而得点的坐标为，又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，根据点斜式可得结果；（II）直线的方程是，.将代入，有，利用求根公式求得，由知 ，化简得，根据两点间距离公式，可化为，利用基本不等式求解即可.

试题解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，由点在上，得.从而点的坐标为.又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为.

（Ⅱ）设点和的坐标为和，直线的方程是，.

将代入，有，解得.

由知 ，化简得.

因此 .

所以 ，当且仅当时取等号，即的最小值为12.