Question

8．已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）+$\frac{k}{x}$在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使得对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，+∞），都有函数y=f（x）+$\frac{k}{x}$的图象在g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的图象的下方；若存在，请求出最大整数k的值，若不存在，请说明理由（参考数据：ln2=0.6931，e${\;}^{\frac{1}{2}}$=1.6487）．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解．
（2）利用参数分离法转化为两个函数有两个不同的交点即可．
（3）y=f（x）+$\frac{k}{x}$的图象在g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的图象的下方，等价为对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，+∞），f（x）+$\frac{k}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$，则f′（1）=1，且f（1）=ln1=0，
即切点坐标为（1，0），
则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y-0=x-1，即y=x-1．
（2）y=f（x）+$\frac{k}{x}$=lnx+$\frac{k}{x}$，
若函数y=f（x）+$\frac{k}{x}$在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上有两个不同的零点，
则函数y=f（x）+$\frac{k}{x}$=0，即lnx+$\frac{k}{x}$=0在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上有两个不同的根，
即$\frac{k}{x}$=-lnx，则k=-xlnx，
设y=g（x）=-xlnx，
则g′（x）=-（lnx+x•$\frac{1}{x}$）=-1-lnx，
由g′（x）＜0得-1-lnx＜0得lnx＞-1，
即x＞$\frac{1}{e}$，此时函数g（x）单调递减，
由g′（x）＞0得-1-lnx＞0得lnx＜-1，
即$\frac{1}{{e}^{2}}$≤x＜$\frac{1}{e}$，此时函数g（x）单调递增，即当x=$\frac{1}{e}$时，函数取得极大值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$•ln$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$，
当x=$\frac{1}{{e}^{2}}$时，g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$•ln$\frac{1}{{e}^{2}}$=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
作出g（x）的对应图象，若y=k与g（x）有两个不同的交点，
则$\frac{2}{{e}^{2}}$≤k＜$\frac{1}{e}$．
（3）若对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，+∞），都有函数y=f（x）+$\frac{k}{x}$的图象在g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的图象的下方，
即对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，+∞），f（x）+$\frac{k}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0恒成立，
即lnx+$\frac{k}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0恒成立，
即$\frac{k}{x}$＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx，
则k＜e^x-xlnx，
设h（x）=e^x-xlnx，则h′（x）=e^x-1-lnx，
令r（x）=e^x-1-lnx，则r′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
设r′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$的零点为x₀，
则当$\frac{1}{2}$＜x＜x₀时，r′（x）＜0时，函数为减函数，
当x＞x₀时，r′（x）＞0，即r（x）为增函数，
即当x=x₀时函数r（x）取得极小值同时也是最小值，
r（x）最小为r（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-1-lnx₀=x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1≥2$\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{{x}_{0}}}$-1=1＞0，
即h′（x）＞0此时函数h（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
则k≤h（$\frac{1}{2}$）=e${\;}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$=e${\;}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$ln2=1.99525．
即k的最大的整数k=1．

点评 本题主要考查函数单调性和导数的关系，以及导数几何意义，不等式恒成立问题，利用参数分离法，以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．