Question

19．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5}{2}$π）；
（2）f（x）=$\sqrt{2sinx-1}$；
（3）f（x）=lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5}{2}$π）=$\sqrt{2}$cos2x，为偶函数；
（2）由2sinx-1≥0得sinx$≥\frac{1}{2}$，即2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，定义域关于原点不对称，则f（x）=$\sqrt{2sinx-1}$为非奇非偶函数；
（3）函数的定义域为（-∞，+∞），f（-x）+f（x）=lg（-sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）+lg（sinx+$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）=lg[（$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$）²-sin²x]=lg1=0，
则f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义结合函数定义域关于原点对称是解决本题的关键．