Question

已知f(x)＝3x²－x＋m，(x∈R)，g(x)＝ln x.

(1)若函数f(x)与g(x)的图像在x＝x₀处的切线平行，求x₀的值；

(2)求当曲线y＝f(x)与y＝g(x)有公共切线时，实数m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，求函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间上的最值(用m表示)．

Answer 1

解：(1)∵f′(x)＝6x－1，g′(x)＝(x>0)，

由题意知6x₀－1＝(x₀>0)，即6x－x₀－1＝0，解得x₀＝或x₀＝－，

又∵x₀>0，∴x₀＝.

(2)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)相切且在交点处有公共切线，由(1)得切点横坐标为，

∴f＝g，

∴－＋m＝ln ，即m＝－－ln 2，

数形结合可知，m>－－ln 2时，f(x)与g(x)有公共切线，故m的取值范围是

 (3)F(x)＝f(x)－g(x)＝3x²－x＋m－ln x，

故F′(x)＝6x－1－

当x变化时，F′(x)与F(x)在区间

的变化情况如下表：