题目内容

已知椭圆C：
x2
4
+y2=1的焦点为F1，F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|（其中为坐标原点），则称点P为“★点”，那么下列结论正确的是（　　）
分析：设椭圆上的点P（x0，y0），通过焦半径公式，利用|PO|2=|PF1|•|PF2|，求出x0，得到结果．
解答：解：设椭圆上的点P（x0，y0），|PF1|=2-ex0，|PF2|=2+ex0，因为|PO|2=|PF1|•|PF2|，则有4-e2
x
2
0
=
x
2
0
+
y
2
0
=
3
4
x
2
0
+1，解得x0=±
2
，因此满足条件的有四个点，
故选B．
点评：本题主要考查椭圆的新定义问题，特别是焦半径的转化问题．考查计算能力．
练习册系列答案
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精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：
x2
4
+y2=1．
（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）（如图），求xE?xF的值；
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中相类似的结论，并证明你的结论．
已知椭圆C：
x24
+y2=1，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）求△AOB面积S的最小值．
（2013•房山区一模）已知椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1和点P（4，0），垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，连结PB交椭圆C于另一点E．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）证明直线AE与x轴相交于定点．
（2012•安徽模拟）已知椭圆C：
x2
4
+y2=1，直线l与椭圆C相交于A、B两点，
OA
•
OB
=0（其中O为坐标原点）．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．
（1）如图1，已知定点F1（-2，0）、F2（2，0），动点N满足|
ON
|=1（O为坐标原点），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求点P的轨迹方程．
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（2）如图2，已知椭圆C：
x2
4
+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2为定值；
（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

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