题目内容
（2012•安徽模拟）已知椭圆C：
+y2=1，直线l与椭圆C相交于A、B两点，
•
=0（其中O为坐标原点）．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．
| x2 |
| 4 |
| OA |
| OB |
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．
分析：（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．设A（x1，x2），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=-y2，此时点O到直线AB的距离d=|x1|=
；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆C：
+y2 =1联立，得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由根与系数的关系得到O到直线AB的距离d=
=
．由此能求出点O到直线AB的距离为定值
．
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-
x，解方程组
，得
，同理可求得
，由此能推导出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离d=
=
．在Rt△OAB中，d=
，故有
=
，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=
．设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=
，|OB|=
．所以，|OA|×|OB|=
=
，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
2
| ||
| 5 |
| x2 |
| 4 |
| |m| | ||
|
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-
| 1 |
| k |
|
|
|
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离d=
| |m| | ||
|
2
| ||
| 5 |
| |OA|×|OB| | ||
|
| |OA|×|OB| | ||
|
2
| ||
| 5 |
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=
2
| ||
| 5 |
| |OH| |
| sinθ |
| |OH| |
| cosθ |
| |OH|2 |
| sinθcosθ |
| ||
| sin2θ |
解答：解：（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．
设A（x1，x2），B（x2，y2），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=-y2，
∵
•
=0，即x1x2+y1y2=0，也就是x12-y12=0，代入椭圆方程解得：|x1| =|y1| =
．
此时点O到直线AB的距离d=|x1|=
．…（2分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆C：
+y2 =1联立，
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵x1+x2=-
，x1x2=
，…（3分）
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
所以（1+k2）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，…（4分）
代入得：(1+k2)
-
+m2=0，
整理得5m2=4（k2+1），…（5分）
O到直线AB的距离d=
=
．
综上所述，点O到直线AB的距离为定值
．…（6分）
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-
x，
解方程组
，得
，
同理可求得
，
故|OA|•|OB|=
|x1|
|x2|
=4
．…（9分）
令1+k2=t（t＞1），则|OA|•|OB|=4
=4
，
令g(t)=-
+
+4=-9(
-
)2+
（t＞1），所以4＜g（t）≤
，即
≤|OA|•|OB|＜2．…（11分）
当k=0时，可求得|OA|•|OB|=2，故
≤|OA|•|OB|≤2，故|OA|•|OB|的最小值为
，最大值为2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离d=
=
．
在Rt△OAB中，d=
，故有
=
，
即(|OA|×|OB|)2=
(|OA|+|OB| 2)，…（9分）
而|OA|2+|OB|2≥2|OA|×|OB，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）
代入上式可得：(|OA|+|OB|)2=
(|OA|2+|OB|2)≥
|OA|×|OB|，
即|OA|×|OB|≥
，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值为
．…（13分）
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=
．
设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=
，|OB|=
．…（9分）
所以，|OA|×|OB|=
=
，…（11分）
显然，当2θ=
，即θ=
时，|OA|•|OB|取得最小值，最小值为
．…（13分）
设A（x1，x2），B（x2，y2），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=-y2，
∵
| OA |
| OB |
2
| ||
| 5 |
此时点O到直线AB的距离d=|x1|=
2
| ||
| 5 |
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆C：
| x2 |
| 4 |
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵x1+x2=-
| 8km |
| 1+4k2 |
| 4m2-4 |
| 1+4k2 |
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
所以（1+k2）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，…（4分）
代入得：(1+k2)
| 4m2-4 |
| 1+4k2 |
| 8k2m2 |
| 1+4k2 |
整理得5m2=4（k2+1），…（5分）
O到直线AB的距离d=
| |m| | ||
|
2
| ||
| 5 |
综上所述，点O到直线AB的距离为定值
2
| ||
| 5 |
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-
| 1 |
| k |
解方程组
|
|
同理可求得
|
故|OA|•|OB|=
| 1+k2 |
1+
|
=4
|
令1+k2=t（t＞1），则|OA|•|OB|=4
|
|
令g(t)=-
| 9 |
| t2 |
| 9 |
| t |
| 1 |
| t |
| 1 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 8 |
| 5 |
当k=0时，可求得|OA|•|OB|=2，故
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离d=
| |m| | ||
|
2
| ||
| 5 |
在Rt△OAB中，d=
| |OA|×|OB| | ||
|
| |OA|×|OB| | ||
|
2
| ||
| 5 |
即(|OA|×|OB|)2=
| 4 |
| 5 |
而|OA|2+|OB|2≥2|OA|×|OB，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）
代入上式可得：(|OA|+|OB|)2=
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
即|OA|×|OB|≥
| 8 |
| 5 |
故|OA|•|OB|的最小值为
| 8 |
| 5 |
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=
2
| ||
| 5 |
设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=
| |OH| |
| sinθ |
| |OH| |
| cosθ |
所以，|OA|×|OB|=
| |OH|2 |
| sinθcosθ |
| ||
| sin2θ |
显然，当2θ=
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 8 |
| 5 |
点评：本题探究点到直线的距离是否为定值，求线段乘积的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目