Question

已知椭圆.

（Ⅰ）求的离心率及长轴长；

（Ⅱ）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线交椭圆于两点. 问：是否存在直线使得三点共线（为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的标准方程为：，则.

所以 椭圆的长轴长为.                                  

因为 ，

所以 ，即的离心率为.                        

（Ⅱ）若三点共线，由是线段的垂直平分线可得：

.                                                   

由（Ⅰ）可得，设.                              

所以 .       ①

又因为 ，     ②                                  

由①②可得： （舍），或                       

当时，直线的方程为，显然满足题意.

所以 存在直线使得三点共线，直线的方程为.