Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．
（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$的值；
（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ．试用θ表示△DCE的面积S，并求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立直角坐标系，由题意求得A、C、B、D的坐标，再利用两个向量的数量积的公式求得 $\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$的值．
（2）由题意得∠CDA=120°-θ，∠CEA=90°-θ，CA=3，∠CAB=60°，利用正弦定理求得CD、CE的值，可得△DCE的面积S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°，化简为$\frac{27}{8[\frac{\sqrt{3}}{2}+sin（2θ+60°）]}$．根据θ∈[0°，60°]，利用正弦函数的定义域和值域，求得S的最大值．

解答 解：（1）以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立直角坐标系，由题意可得A（3，0）、C（0，0）、B（0，3$\sqrt{3}$）．
当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，点D（2，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=（2，$\sqrt{3}$）•（3，0）=6．
（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，
则∠CDA=120°-θ，∠CEA=90°-θ，∵CA=3，∠CAB=60°，
△ACD中，由正弦定理可得$\frac{3}{sin（120°-θ）}$=$\frac{CD}{sin60°}$，求得CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（120°-θ）}$．
△CAE中，由正弦定理可得$\frac{3}{sin（90°-θ）}$=$\frac{CE}{sin60°}$，求得CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
∴△DCE的面积S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°=$\frac{27}{16sin（120°-θ）•cosθ}$=$\frac{27}{16•[\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ]•cosθ}$ 
=$\frac{27}{8[\sqrt{3}•\frac{1+cos2θ}{2}+\frac{1}{2}sin2θ]}$=$\frac{27}{8[\frac{\sqrt{3}}{2}+sin（2θ+60°）]}$．
由于θ∈[0°，60°]，∴2θ+60°∈[60°，180°]，
故当2θ+60°=180°时，sin（2θ+60°）=0，S取得最大值为$\frac{27}{4\sqrt{3}}$=$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$；
2θ+60°=90°时，sin（2θ+60°）=1，S取得最小值为 $\frac{27}{4\sqrt{3}+8}$=$\frac{27（8-4\sqrt{3}）}{16}$=$\frac{54-27\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查用坐标法解决向量问题，两个向量的数量积的公式，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．