Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+2a|n-2|（n∈N⁺），数列{a_n}为递增数列，则实数a的取值范围（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由数列的前n项和求出S₁，S₂的值，由S₂＞S₁ 求得a$＜\frac{3}{2}$，当n≥2时，S_n=n²+2a（n-2），由S_n+1＞S_n对任意得n∈N⁺且n≥2都成立，求得$a＞-\frac{5}{2}$，取交集得答案．

解答 解：当n=1时，S₁=1²+2a|1-2|=2a+1，
当n≥2时，S_n=n²+2a|n-2|=n²+2an-4a，
∵数列{a_n}为递增数列，
∴S₂＞S₁，且S_n+1＞S_n对任意得n∈N⁺且n≥2都成立．
由S₂＞S₁，得4＞2a+1，即a$＜\frac{3}{2}$；
由S_n+1＞S_n对任意得n∈N⁺且n≥2都成立，
得（n+1）²+2a（n+1）-4a＞n²+2an-4a，
整理得$a＞\frac{-2n-1}{2}$（n≥2），
∴a$＞-\frac{5}{2}$，
取交集得：$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{3}{2}$．
∴实数a的取值范围是（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．
故答案为：（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了恒成立问题的应用，是中档题．