Question

【题目】如图，在多面体中，已知，，，，，平面平面，为的中点，连接.

（1）求证：平面；

（2）求二面角大小的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）过作于先证，，取的中点为，连接，再证，，从而得四边形为平行四边形，从而得证；

（2）易知平面，所以为坐标原点，所在射线为轴建立空间直角坐标系，分别求平面的法向量和平面的法向量，利用，即可得解.

（1）证明：过作于.

因为，所以，

因为，，所以，

因为，所以，

所以四边形为矩形，所以，，

取的中点为，连接.

因为为的中点，所以，，

所以，，所以四边形为平行四边形，

所以，因为平面，平面.

所以平面.

（2）因为平面平面，，所以平面.

以为坐标原点，所在射线为轴建立空间直角坐标系.

因为，，所以，

且，所以，

因为，所以，

又，所以，设平面的法向量为，

则所以.

又，，所以，，

设平面的法向量为，

则所以，

设平面与平面所成角为，

则，

所以.