Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}满足bn=（2n﹣1）an，数列{bn}的前n项和Tn（n∈N*），

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）求 的最小值以及取得最小值时n的值．

Answer 1

【答案】（1）an=（2n﹣1）2n （2）Tn=（2n﹣3）2n+1+6 （3）n=3时，最小值为16

【解析】

（1）当时，，相减可得，利用等比数列的定义与通项公式，即可得出数列的通项公式，进而可得的通项公式；（2）利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得出数列的前项和；（3）利用（2）可得 ，根据基本不等式的性质即可得结果．

（1）当n=1时，S1=2a1﹣2，所以a1=2．

当n≥2时，Sn=2an﹣2, Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

两式相减可得，

an=2an﹣2an﹣1，an=2an﹣1，

∴{an}为首项为2，公比为2的等比数列，

∴an=2n

bn=（2n﹣1）2n．

（2）因为Tn=121+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n；①

所以2Tn=122+323+…+（2n﹣5）2n﹣1+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1；②

由①﹣②得﹣Tn=2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）2n+1，

化简得Tn=（2n﹣3）2n+1+6．

（3）=4n﹣6+，

当，即n=3时，最小值为16．