题目内容

16．数列{an}的前n项和Sn满足3Sn=4n+1-4，则数列{（3n-2）an}的前n项和为（n-1）4n+1+4．

分析 通过3Sn=4n+1-4与3Sn-1=4n-4（n-2）作差，进而计算可知an=4n，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵3Sn=4n+1-4，
∴3Sn-1=4n-4（n-2）（n≥2），
两式相减得：3an=3×4n，即an=4n（n≥2），
又∵3S1=41+1-4，即a1=4满足上式，
∴an=4n，
记数列{（3n-2）an}的前n项和为Tn，则：
Tn=1×4+4×42+…+（3n-2）×4n，
4Tn=1×42+4×43+…+（3n-5）×4n+（3n-2）×4n+1，
两式相减得：-3Tn=4+3（42+43+…+4n）-（3n-2）×4n+1
=4+3×$\frac{{4}^{2}（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-2）×4n+1
=4+4n+1-16-（3n-2）×4n+1
=-（3n-3）×4n+1-12，
∴Tn=4+（n-1）×4n+1，
故答案为：4+（n-1）×4n+1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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