Question

1．四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点，AB=BD=2，AE=$\sqrt{3}$，CH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求证：CH⊥平面BDF
（Ⅱ）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ACFE为平行四边形，$AE=\sqrt{3}$，可得$CF=\sqrt{3}$，再由四边形ABCD为菱形，得到△ABD是以2为边长的等边三角形，从而得到CG=CF，再由H为FG的中点，可得CH⊥FG，结合BD⊥AC，平面ACFE⊥平面ABCD，得到BD⊥平面ACFE，进一步得到BD⊥CH．然后利用线面垂直的判定得CH⊥平面BDF；
（Ⅱ）连结EG，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACFE，进一步得到BD⊥EG，BD⊥FG．然后结合已知通过求解直角三角形可得FG⊥平面BDE，再利用等积法求得三棱锥B-DEF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵ACFE为平行四边形，$AE=\sqrt{3}$，
∴$CF=\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AG=CG，BG=DG，AD=AB，
∵AB=BD=2，
∴△ABD是以2为边长的等边三角形，则$AG=CG=\sqrt{3}$，从而CG=CF，
∵H为FG的中点，
∴CH⊥FG，
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面ACFE，
∵CH?平面ACFE，
∴BD⊥CH．
∵BD∩FG=G，BD?平面BDF，FG?平面BDF，
∴CH⊥平面BDF；
（Ⅱ） 解：连结EG，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACFE，
∵FG?平面ACFE，EG?平面ACFE，
∴BD⊥EG，BD⊥FG．
由（Ⅰ）可知CH⊥FG，$CG=\sqrt{3}$，
∵$CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴∠FGC=30°，
由（Ⅰ）可知CG=CF，
∴∠GFC=30°，从而∠FCG=120°，
∵ACFE为平行四边形，
∴∠EAG=60°，
由（Ⅰ）可知AE=AG，
∴△AEG为正三角形，从而$EG=\sqrt{3}$，∠AGE=60°，
∴∠EGF=180°-30°-60°=90°，即FG⊥EG，
∵BD∩EG=G，
∴FG⊥平面BDE，
在△CFG中，$FG=2HG=2\sqrt{C{G^2}-C{H^2}}=3$，
在△BDE中，${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}BD•EG=\sqrt{3}$，
∴${V_{B-DEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BDE}}•FG=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3=\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求三棱锥的体积，是中档题．