Question

16．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？
参考公式：回归直线的方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回归系数，即可求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；
（Ⅱ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．

解答 解：（Ⅰ）由数据求得$\overline x=\frac{11+13+12+8}{4}=11，\overline y=\frac{25+29+26+16}{4}=24$，
$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}=（11-11）×1+（13-11）×5+（12-11）×2+（8-11）×（-8）=36$，
$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\bar x}{）^2}={0^2}+{2^2}+{1^2}+{（-3）^2}=14$，
由公式求得$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x}{）^2}}}=\frac{18}{7}$，
所以$\widehata=\overline y-\hat b\overline x=-\frac{30}{7}$，
所以y关于x的线性回归方程为$\widehaty=\frac{18}{7}x-\frac{30}{7}$．
（Ⅱ）当x=10时，$\widehaty=\frac{150}{7}$，$|{\frac{150}{7}-22}|＜2$；
同样，当x=6时，$\widehaty=\frac{78}{7}$，$|{\frac{78}{7}-12}|＜2$．
所以，该协会所得线性回归方程是理想的．

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目．