Question

【题目】数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．

（1）求数列的通项；

（2）数列满足，其中．

①证明：数列为等比数列；

②求集合．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①见证明；②

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{an}的通项公式；

（2）①设数列{bn}前n项的和为Bn．根据bn＝Bn﹣Bn﹣1，数列{bn}满足．建立关系即可求解；

②由，得，即．记，由①得，，

由，得cm＝3cp＞cp，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．

讨论整数成立情况即可；

（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和

，解得

所以数列的通项公式为

（2）①设数列的前项和为，由（1）及 得

上两式相减，得到

=

所以

又，所以，满足上式，

所以

当时，

两式相减，得， ，

所以 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．

②由，得，即，∴．

令，显然，此时变为，即，

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意，此时；

当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意；

下证当，时，方程：

∵

∴

∴，显然，从而

当，时，方程没有正整数解．

综上所述：．