Question

（本题满分13分）

         已知函数

   （1）若，求曲线处的切线；

   （2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

   （3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）当时，

         函数

        

         曲线在点处的切线的斜率为

          1分

         从而曲线在点处的切线方程为

        

         即

   （2） 3分

         令，要使在定义域（0，∞）内是增函       

         只需在（0，+∞）内恒成立    4分

         由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

         ，

        

         只需时，

        

         在（0，+∞）内为增函数，正实数的取值范围是   6分

   （3）上是减函数，

         时，

        

         ，

         即   1分

         ①当时，

         其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

         且，所以内是减函数。

         当时，在

         因为，

         所以

         此时，内是减函数。

         故当时，上单调递减

         ，不合题意；

         ②当时，由

         所以

         又由（2）知当时，上是增函数，

         ，不合题意；   11分

         ③当时，由（2）知上是增函数，

        

         又上是减函数，

         故只需

         而

         即

         解得，

         所以实数的取值范围是。  13分

         注：另有其它解法，请酌情给分。