Question

5．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，若$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，证明：点M不在平面ABC内．

Answer 1

分析 可假设点M在平面ABC内，从而可以根据平面向量基本定理得到，存在λ，μ，使得$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，然后根据向量减法的几何意义便可得到$\overrightarrow{OM}=（1+λ+μ）\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$，1+λ+μ-λ-μ=1，而2-1-1≠1，这样由空间向量基本定理便知假设不成立，从而便得出点M不在平面ABC内．

解答 证明：假设点M在平面ABC内，∵A，B，C三点不共线，则：根据平面向量基本定理知，存在实数λ，μ使：
$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+μ（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OM}=（1+λ+μ）\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$；
∴1+λ+μ-λ-μ=1，而2-1-1=0≠1；
∴假设不成立，即点M不在平面ABC内．

点评 考查平面向量基本定理和空间向量基本定理，以及反证法证明命题的方法，向量减法的几何意义，向量的加法和数乘运算．