题目内容

14.通过计算可得下列等式:
23-13=3×12+3×1+1;
33-23=3×22+3×2+1;
43-33=3×32+3×3+1;
…
(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1.
将以上各等式两边分别相加,得
(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n;
即12+22+32+…+n2=$\frac{1}{6}$n(n+1)(2n+1).
类比上述求法,请你求出13+23+33+…+n3的值.

分析 由(n+1)4-n4=4n3+6n2+4n+1,利用“累加求和”及其已知结论即可得出.

解答 解:∵(n+1)4-n4=4n3+6n2+4n+1,
∴(n+1)4=[(n+1)4-n4]+[n4-(n-1)4]+…+(24-14)+1
=4(13+23+…+n3)+6(12+22+…+n2)+4(1+2+…+n)+n+1
=4(13+23+…+n3)+n(n+1)(2n+1)+4×$\frac{n(n+1)}{2}$+n+1,
解得13+23+33+…+n3=$[\frac{n(n+1)}{2}]^{2}$.

点评 本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式,考查了类比推理、计算能力,属于中档题.

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