题目内容

已知常数a≠0，数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且 $数学公式$ ．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若 $数学公式$ ，且数列{b_n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若 $数学公式$ ，数列{c_n}满足： $数学公式$ ，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使c_k=c_p•c_q？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$
∴S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，…（2分）
∴a_n+1=[（n+1）a_n+1-a（n+1）n]-[na_n-an（n-1）]
化简得：a_n+1-a_n=2a（常数），
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），
又∵ $\text{[math]}$ ，b_n＜b_n+1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴（-1）ⁿ[1+（2n-1）a]＜3ⁿ
①当n是奇数时，∵-[1+（2n-1）a]＜3ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ ，n=1，3，5，7，…
令 $\text{[math]}$ ，
∴a＞f（n）_max
∵ $\text{[math]}$
∴f（1）＞f（3）＞f（5）＞…＞f（n）＞…，且f（1）=-4，
∴a＞-4；…（7分）
②当n是偶数时，
∵1+（2n-1）a＜3ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ ，n=2，4，6，8，…
令 $\text{[math]}$ ，
∴a＜g（n）_min
∵ $\text{[math]}$
∴g（2）＜g（4）＜g（6）＜…＜g（n）＜…，且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
综上可得：实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a_n=n，又∵ $\text{[math]}$ ，
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使c_k=c_pc_q，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（12分）
令q=k+1，则p=k（k+2012）（或q=2k，p=2k+2011）
∴c_k=c_{k（k+2012）}•c_k+1（或c_k=c_2k+2011•c_2k）…（16分）
分析：（Ⅰ）由已知利用a_n+1=S_n+1-S_n，代入整理化简得：a_n+1-a_n=2a（常数），可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1）， $\text{[math]}$ ，结合b_n＜b_n+1，可得（-1）ⁿ[1+（2n-1）a]＜3ⁿ①当n是奇数②当n是偶数，结合数列的单调性及恒成立与最值的相互转换可求a的范围
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得 $\text{[math]}$ ，假设满足c_k=c_pc_q，代入整理可得 $\text{[math]}$ 可求
点评：本题综合考查了由数列的和与项的递推公式证明等差数列，及利用数列的单调性求解数列的最大（最小）项的问题及恒成立与最值求解的相互转化．