题目内容
已知常数a≠0，数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an=
+a(n-1)．
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）若bn=3n+(-1)nan，且数列{bn}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若a=
，数列{cn}满足：cn=
，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N*，使ck=cp•cq？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．
| Sn |
| n |
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）若bn=3n+(-1)nan，且数列{bn}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若a=
| 1 |
| 2 |
| an |
| an+2011 |
分析：（Ⅰ）由已知利用an+1=Sn+1-Sn，代入整理化简得：an+1-an=2a（常数），可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=1+2a（n-1），bn=3n+(-1)nan，结合bn＜bn+1，可得（-1）n[1+（2n-1）a]＜3n①当n是奇数②当n是偶数，结合数列的单调性及恒成立与最值的相互转换可求a的范围
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得cn=
，假设 满足ck=cpcq，代入整理可得p=
可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=1+2a（n-1），bn=3n+(-1)nan，结合bn＜bn+1，可得（-1）n[1+（2n-1）a]＜3n①当n是奇数②当n是偶数，结合数列的单调性及恒成立与最值的相互转换可求a的范围
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得cn=
| n |
| n+2011 |
| k(q+2011) |
| q-k |
解答：解：（Ⅰ）∵an=
+a(n-1)
∴Sn=nan-an（n-1），an+1=Sn+1-Sn，…（2分）
∴an+1=[（n+1）an+1-a（n+1）n]-[nan-an（n-1）]
化简得：an+1-an=2a（常数），
∴数列{an}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=1+2a（n-1），
又∵bn=3n+(-1)nan，bn＜bn+1，
∴3n+(-1)nan＜3n+1+(-1)n+1an+1，
∴（-1）n[1+（2n-1）a]＜3n
①当n是奇数时，∵-[1+（2n-1）a]＜3n，
∴a＞-
，n=1，3，5，7，…
令f(n)=-
，
∴a＞f（n）max
∵f(n+2)-f(n)=-
+
=
＜0
∴f（1）＞f（3）＞f（5）＞…＞f（n）＞…，且f（1）=-4，
∴a＞-4；…（7分）
②当n是偶数时，
∵1+（2n-1）a＜3n，
∴a＜
，n=2，4，6，8，…
令g(n)=
，
∴a＜g（n）min
∵g(n+2)-g(n)=
-
=
＞0
∴g（2）＜g（4）＜g（6）＜…＜g（n）＜…，且g(2)=
，
∴a＜g(2)=
；
综上可得：实数a的取值范围是(-4，
)．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，an=n，又∵cn=
，
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使ck=cpcq，
∴
=
•
，
∴p=
…（12分）
令q=k+1，则p=k（k+2012）（或q=2k，p=2k+2011）
∴ck=ck（k+2012）•ck+1（或ck=c2k+2011•c2k）…（16分）
| Sn |
| n |
∴Sn=nan-an（n-1），an+1=Sn+1-Sn，…（2分）
∴an+1=[（n+1）an+1-a（n+1）n]-[nan-an（n-1）]
化简得：an+1-an=2a（常数），
∴数列{an}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=1+2a（n-1），
又∵bn=3n+(-1)nan，bn＜bn+1，
∴3n+(-1)nan＜3n+1+(-1)n+1an+1，
∴（-1）n[1+（2n-1）a]＜3n
①当n是奇数时，∵-[1+（2n-1）a]＜3n，
∴a＞-
| 3n+1 |
| 2n-1 |
令f(n)=-
| 3n+1 |
| 2n-1 |
∴a＞f（n）max
∵f(n+2)-f(n)=-
| 3n+2+1 |
| 2n+3 |
| 3n+1 |
| 2n-1 |
| -4(4n-3)3n+4 |
| (2n-1)(2n+3) |
∴f（1）＞f（3）＞f（5）＞…＞f（n）＞…，且f（1）=-4，
∴a＞-4；…（7分）
②当n是偶数时，
∵1+（2n-1）a＜3n，
∴a＜
| 3n-1 |
| 2n-1 |
令g(n)=
| 3n-1 |
| 2n-1 |
∴a＜g（n）min
∵g(n+2)-g(n)=
| 3n+2-1 |
| 2n+3 |
| 3n-1 |
| 2n-1 |
| 4(4n-3)3n+4 |
| (2n-1)(2n+3) |
∴g（2）＜g（4）＜g（6）＜…＜g（n）＜…，且g(2)=
| 8 |
| 3 |
∴a＜g(2)=
| 8 |
| 3 |
综上可得：实数a的取值范围是(-4，
| 8 |
| 3 |
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，an=n，又∵cn=
| n |
| n+2011 |
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使ck=cpcq，
∴
| k |
| k+2011 |
| p |
| p+2011 |
| q |
| q+2011 |
∴p=
| k(q+2011) |
| q-k |
令q=k+1，则p=k（k+2012）（或q=2k，p=2k+2011）
∴ck=ck（k+2012）•ck+1（或ck=c2k+2011•c2k）…（16分）
点评：本题综合考查了由数列的和与项的递推公式证明等差数列，及利用数列的单调性求解数列的最大（最小）项的问题及恒成立与最值求解的相互转化．
练习册系列答案
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．
，且数列{bn}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
，数列{cn}满足：
，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N*，使ck=cp•cq？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．
．
对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
，数列{cn}满足：
，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N*，使得ck=cp•cq？若存在，求出p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由．
．
，且数列{bn}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
，数列{cn}满足：
，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N*，使ck=cp•cq？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．