Question

已知常数a≠0，数列{a_n}前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若，数列{c_n}满足：，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使得c_k=c_p•c_q？若存在，求出p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，由此能够证明数列{a_n}是等差数列．
（Ⅱ）由a_n=1+2a（n-1），对任意的正整数n恒成立，知1+2a（n-1）≤2n³-13n²+11n+1对任意的正整数n恒成立，故a≤对任意的正整数n恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由a=，知a_n=n，，因为对任意正整数k，都存在正整数p，q，使c_k=c_pc_q，所以，由此能够求出结果．
解答：（Ⅰ）证明：∵，
∴S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，…（2分）
∴a_n+1=[（n+1）a_n+1-a（n+1）n]-[na_n-an（n-1）]
化简得：a_n+1-a_n=2a（常数），…（4分）
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），
∵对任意的正整数n恒成立，
∴1+2a（n-1）≤2n³-13n²+11n+1对任意的正整数n恒成立，…（6分）
∴a≤对任意的正整数n恒成立，…（7分）
∴a不大于，n∈Z₊最小值．
∵==n²-=（n-）²-，n∈Z₊
∴当n=3时，取最小值=-20．
∴实数a的取值范围是（-∞，-20]．…（10分）
（Ⅲ）解：∵a_n=1+2a（n-1），a=，
∴a_n=n，又∵，
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使c_k=c_pc_q，
∴，
∴…（14分）
令q=k+1，则p=k（k+2012）或q=2k，p=2k+2012，
∴c_k=c_{k（k+2012）}•c_k+1（或）c_k=c_2k+2012•c_2k．…（16分）
点评：本题考查等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，考查实数取值的判断．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．