Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得出．
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：∵面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，
又AB?面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：取AD中点O，连接PO，∵△PAD为正三角形，
∴PO⊥AD，由（Ⅰ）知AB⊥面PAD，PO?面PAD，
∴PO⊥面ABCD，建立空间直角坐标系如图2所示，
则O（0，0，0），P(0，0，

3

)，C（1，0，0），D（0，1，0），E(

1

2

，

1

2

，0)，
B（1，-1，0），A（0，-1，0）．
∴

AE

=(

1

2

，

3

2

，0)，

AP

=(0，1，

3

)．
设平面PAE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AE = 1 2 x+ 3 2 y=0 n AP =y+ 3 z=0

，令z=

3

，则y=-3，x=9，∴

n

=(9，-3，

3

)．
取平面ABE的法向量为

m

=(0，0，1)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

31

31

．
∴sin＜

n

，

m

＞=

930

31

．
∴二面角P-AE-B的正弦值为

930

31

点评：熟练掌握面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角公式求二面角等是解题的关键．