Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知OA₁=.

（1）求证：B₁C₁⊥平面OAH；

（2）求二面角O-A₁B₁-C₁；

Answer 1

解：解法一：

（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，

则⊥。              

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。

因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，              

就是二面角的平面角。       

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：

（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

  

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

（2）由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得

又是平面的一个法量

              

所以二面角的大小为