Question

4．已知函数f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）．当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用倍角公式、和差公式可得：函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，则函数f（x）的值域可求．

解答 解：函数f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴函数f（x）的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的最值，考查了和差公式、倍角公式，考查了计算能力，属于基础题．