Question

7．己知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
（I）证明数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_n-$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，即b_n+1-b_n=1，利用等差数列的定义即可证明，进而得出b_n，a_n．
（II）c_n=a_n-$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=n•2ⁿ-$\frac{1}{n（n+1）}$=n•2ⁿ-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 （I）证明：数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
∴b_n+1-b_n=1，b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=1．
∴数列{b_n}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴a_n=n•2ⁿ．
（II）解：c_n=a_n-$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=n•2ⁿ-$\frac{1}{n（n+1）}$=n•2ⁿ-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
设数列{a_n}的前n项和为A_n，数列$\{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\}$的前n项和为B_n．
则A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
B_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=A_n-B_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．