Question

19．已知定义在[1，16]上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4+8|x-\frac{3}{2}|}&{1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）}&{2＜x≤16}\end{array}\right.$，则下列结论中错误的是（　　）

• A． f（4）=0
• B． 函数f（x）的值域为[-4，0]
• C． 将函数f（x）的极值由大到小排列得到数列{a_n}，n∈N^*，则{a_n}的前n项和S_n=-8
• D． 对任意的x∈[1，16]，不等式xf（x）+6≥0

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4+8|x-\frac{3}{2}|}&{1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）}&{2＜x≤16}\end{array}\right.$，逐一分析各个选项中结论的真假，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4+8|x-\frac{3}{2}|}&{1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）}&{2＜x≤16}\end{array}\right.$，
∴f（4）=$\frac{1}{2}$f（2）=-4+8×|2-$\frac{3}{2}$|=0，故A正确；
在区间[1，2]上，当x=$\frac{3}{2}$时，函数取最小值-4，当x=1或2时，函数取最大值0，此时f（x）∈[-4，0]，
由2＜x≤16时，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}）$可得：
在区间（2，4]上，f（x）∈[-2，0]，在区间（4，8]上，f（x）∈[-1，0]，在区间（8，16]上，f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，0]，
综上所述函数f（x）的值域为[-4，0]，故B正确；
将函数f（x）的极值由大到小排列得到数列{a_n}，
则数列{a_n}为：-4，0，-2，0，-1，0，-$\frac{1}{2}$，则S_n=-$\frac{15}{2}$，故C错误；
函数f（x）的图象不会出现在函数y=$\frac{-6}{x}$的下方，

即f（x）≥$\frac{-6}{x}$恒成立，
即xf（x）+6≥0恒成立，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象和性质，函数求值，函数的极值，函数的值域，难度中档．