Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁．
（1）证明：DE∥面ABC；
（2）证明：面A₁B₁C⊥面A₁AC；
（3）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

Answer 1

【答案】分析：（1）连结EO、OA，由圆柱的性质得四边形AA₁B₁B是平行四边形，所以DA∥BB₁且DA=BB₁．△B₁BC中利用中位线定理，得到EO∥BB₁且EO=BB₁，从而证出四边形AOED是平行四边形，得DE∥OA，结合线面平行的判定定理即可证出DE∥面ABC；
（2）根据圆的性质得到AB⊥AC，结合AA₁⊥AB得到AB⊥面A₁AC，由AB∥A₁B₁得出A₁B₁⊥面A₁AC，再根据面面垂直的判定定理，可得面A₁B₁C⊥面A₁AC；
（3）由DE⊥面CBB₁结合DE∥OA，得OA⊥面CBB₁，从而AO⊥BC，结合结合垂直平分线的性质得到AC=AB．由线面垂直判定定理证出AC⊥平面AA₁B₁B，得AC为四棱锥C-ABB₁A₁的高．因此设圆柱高为h，底半径为r，可得四棱锥C-ABB₁A₁体积与圆柱OO₁的体积关于h、r的表达式，即可算出四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．
解答：解：（1）连结EO、OA，
∵E、O分别为B₁C、BC的中点，∴EO∥BB₁，EO=BB₁
又∵AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，
∴AA₁∥BB₁、AA₁=BB₁，可得四边形AA₁B₁B是平行四边形，
∵平行四边形AA₁B₁B中，DA∥BB₁，DA=BB₁，
∴DA∥EO，且DA=EO
四边形AOED是平行四边形，可得DE∥OA
∵DE?面ABC，OA?面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）
（2）∵AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，
∴四边形AA₁B₁B是平行四边形，可得AB∥A₁B₁
∵AA₁⊥圆O所在的平面，AB?圆O所在的平面，∴AA₁⊥AB，
又∵BC是底面圆O的直径，∴AB⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC、AA₁?面A₁AC，AB⊥面A₁AC，
∵AB∥A₁B₁，∴A₁B₁⊥面A₁AC，
∵A₁B₁?面A₁B₁C，∴面A₁B₁C⊥面A₁AC；…（9分）
（3）由题意，DE⊥面CBB₁，由（1）知DE∥OA，
∴OA⊥面CBB₁，∴结合BC?面CBB₁，可得AO⊥BC，得AC=AB．
∵AB⊥AC且AA₁⊥AC，AB、AA₁是平面AA₁B₁B内的相交直线，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，即AC为四棱锥C-ABB₁A₁的高．
设圆柱高为h，底半径为r，则V_圆柱=πr²h，V_四棱锥=（）•（）h=，
∴四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比为=．…（14分）
点评：本题在圆柱体中求证线面平行、面面垂直，并求四棱锥与圆柱的体积之比．着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直与面面的判定与性质、锥体与柱体体积公式等知识，属于中档题．