Question

如图，AA₁，BB₁是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，AA₁=AB=4．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积V最大时二面角A-A₁B-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据AB是圆的直径，得到BC⊥AC，用线面垂直的性质定理得到AA₁⊥BC，最后根据线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面AA₁C，又BC?面A₁BC，即得证；
（2）设AC=a，BC=b，则a²+b²=16，可得V(x)=

1

3

•4•

1

2

•a•b=

2

3

ab≤

2

3

a2+b2

2

=

32

3

，故当AC=BC时三棱锥A₁-ABC的体积V最大，由题意知，∠CDO为二面角A-A₁B-C的平面角．故得到二面角A-A₁B-C的大小的余弦值为

3

3

．

解答：（1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴AA₁⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，又AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面A₁AC，
又BC?面A₁BC，∴面A₁BC⊥平面AA₁C；
（2）解：在Rt△A₁AB中，AA₁=AB=4，
设AC=a，BC=b，则a²+b²=16
V(x)=

1

3

•4•

1

2

•a•b=

2

3

ab≤

2

3

a2+b2

2

=

32

3

，当a=b时取等号．
∴AC=BC时三棱锥A₁-ABC的体积V最大，
取AB中点O，则CO⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥CO
∴CO⊥面A₁BC，∴CO⊥A₁B
做OD⊥A₁B于D，连接CD
则A₁B⊥面COD
∴∠CDO为二面角A-A₁B-C的平面              
又∵CO=OB=2，OD=

2

，
∴CD=

6

故cos∠CDO=

OD

CD

=

3

3

．

点评：本题以圆柱为载体，求锥体体积的最大值并求此时直线与平面所成角的正弦，着重考查了线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，属于中档题．