题目内容

设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，已知点M的横坐标为
1
2
．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，
①求Sn；
②已知an=
2
3
，n=1
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
分析：（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（2）①Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)，即 Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)以上两式相加后两边再同时除以2就得到Sn．②当n≥2时，根据题设条件，由Tn＜λ（Sn+1+1）得
2n
n+2
＜λ•
n+2
2
，∴λ＞
4n
(n+2)2
=
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4
，再由均值不等式求出λ的取值范围．
解答：解：（1）依题意由
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为
1
2
，A（x1，y1），B（x2，y2）即
x1+x2
2
=
1
2
?x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(
x1
1-x1
•
x2
1-x2
)=1+log21=1?
y1+y2
2
=
1
2

即M点的纵坐标为定值
1
2
．
 （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
∴Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+••+f(
1
n
)
两式想加得，2Sn=n-1
Sn=
n-1
2

②当n≥2时，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1) 
=
4
(n+1)(n+2)
=4（
1
n+1
-
1
n+2
）
又n=1时，a1=
2
3
也适合．
∴an=4（
1
n+1
-
1
n+2
）                                                                                     
∴Tn=
4
2×3
+
4
3×4
++
4
(n+1)(n+2)
=4(
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
++
1
n+1
-
1
n+2
)=4(
1
2
-
1
n+2
)=
2n
n+2
(n∈N*)
由
2n
n+2
≤λ(
n
2
+1)恒成立(n∈N*)?λ≥
4n
n2+4n+4

而
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4
≤
4
4+4
=
1
2
（当且仅当n=2取等号）
∴λ≥
1
2
，∴λ的最小正整数为1．
点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．
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1
y1
+
1
y2
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
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y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
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x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

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