Question

【题目】如图，的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，直线AI、BI与分别交于点.过点作边AB的平行线分别与交于点，联结，过点F作的一条垂线与交于点，过点F作的一条垂线与交于点.设直线与直线交于点C’，类似地，得到点A’、B’.证明：的外接圆半径是半径的2倍.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明一个引理.

引理 如图，过外一点A作的一条切线AT，T为切点，再过A作一条直线与交于B、C两点（AB＜AC），过点C作AT的平行线与交于点D，过T作DT的一条垂线与DB交于点E.则∠BAT=∠EAT.

证明 设TO与的另一个交点为T’，联结T’B并延长，与AT交于点S，联结TB、TC.

则∠ABS=∠T’BC=∠DBT’=∠DTT’=90°-∠DTA=∠ATE.

又∠TDE=∠TDB=∠TT’B=∠BTS，∠DTE=∠TBS=90°.

故.

又

因此，.

又∠ABS=∠DBT’=∠ATE，则

.

回到原题.

由引理知，

，.

为的中垂线.

由 I’、F、C’三点共线，且F为C’I的中点

（r为半径）.

类似地，IA’=2r，IB’=2r.

故I为的外心，且的外接圆半径为半径的2倍.