Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

(1) 取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证， 即可；(2) 以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.

（1）取的中点，连接，

因为均为边长为的等边三角形，

所以，，且

因为，所以，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）因为，为等边三角形，

所以，又因为，所以，，

在中，由正弦定理，得：，所以.

以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则平面的一个法向量为，

依题意，平面的一个法向量

所以

故二面角的余弦值为.