Question

【题目】已知函数 （为常数）

（Ⅰ）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 。

【解析】

（Ⅰ）由是单调函数可得在定义域上恒成立，然后转化为二次方程根的分布的问题处理即可．（Ⅱ）由题意得是方程的两根，故得，不妨令，然后将表示为的函数，最后根据函数的单调性可求得最大值．

（Ⅰ）∵，，

∴．

设，，

∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，

∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．

又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，

∴，或，解得.

∴实数的取值范围为．

（Ⅱ）由（I）知函数的两个极值点满足，

所以，

不妨设，则在上是减函数，

∴，

∴

．

令，则，

又，即，

解得，

故，

∴．

设，

则，

∴在上为增函数．

∴，

即．

所以的最大值为．