题目内容
已知a1,a2,…,an都是正数,且a1+a2+…+an=1,求证:(a1+
)2+(a2+
)2+…+(an+
)2≥
.
证明：原不等式等价于n［(a1+)2+(a2+)2+…+(an+)2］≥(n2+1)2,
∵(12+12+…+12)·［(a1+)2+(a2+
)2+…+(an+
)2］
≥［(a1+
)+(a2+
)+…+(an+
)］2
=［1+(
+
+…+
)］2,①
又∵
,
∴
+
+…+
≥n2,代入①式,即得(a1+
)2+(a2+
)2+…+(an+
)2≥
.
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