题目内容

数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减．
【答案】分析：（Ⅰ）由题意知an+1=an，，由此可推导出a=0，或．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（Ⅲ）因为a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，然后用分析法能够证明数列{a2n}单调递减．
解答：解：（Ⅰ）因为数列{an}为常数列，
所以an+1=an，，
解得an=0或，
由n的任意性知，a1=0或，
所以a=0，或；
（Ⅱ）用数学归纳法证明，
1当n=12时，3，符合上式，
②假设当n=k（k≥1）时，，
因为，
所以，
即，
从而，
即，
因为，
所以，当n=k+1时，成立，
由①，②知，；
（Ⅲ）因为a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，
由（Ⅱ）可知，a2n-2＞0，所以只要证明-27a2n-23+54a2n-22-36a2n-2+8＜0，
即只要证明27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0，
令f（x）=27x3-54x2+36x-8，
f'（x）=27×3x2-54×2x+36=9（9x2-12x+4）=9（3x-2）2≥0，
所以函数f（x）在R上单调递增，
因为，所以，
即27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0成立，
故a2n＜a2n-2，
所以数列{a2n}单调递减．
点评：本题以数列为载体，考查不等式的证明，解题时要注意数列归纳法和分析法的证明技巧．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
数列{an}满足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）当a=
1
2
时，证明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．
（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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