Question

13．设函数f（x）=e^x-$\frac{{{{（x+1）}^2}}}{2}$（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈（-1，+∞）时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，得到f（x）递增，从而证出结论即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-$\frac{{{{（x+1）}^2}}}{2}$，f（1）=e-2，
f′（x）=e^x-（x+1），f′（1）=e-2，
∴切线方程是：y-e+2=（e-2）（x-1），
即y=（e-2）x；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-（x+1），f″（x）=e^x-1，（x＞-1），
令f″（x）＞0，解得：x＞0，令f″（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴f′（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增，
∴f（x）＞f（-1）=$\frac{1}{e}$＞0．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．