Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面为边长为的菱形，侧面为矩形，其中且，平面，点为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由为菱形和，可得为等边三角形，进而证明，又平面，可得，进而可得平面；

（2）由（1）可得，平面，建立空间直接坐标系，通过为边长为的菱形和，求点F，A，C，E的坐标，进而求平面的法向量，得出二面角的余弦值.

（1）因为为菱形，所以

又因为，所以为等边三角形，

点为的中点，所以；

又因为平面，面，所以；

因为，

所以平面.

（2）

由（1）可知，，又因为为菱形，所以

因为平面，所以,

分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，因为，所以，，

，，

设平面FAC的法向量为：

可得，令，可得， ；

设平面EAC的法向量为：

可得，令，可得，

；

二面角为锐角，所以二面角的余弦值为：