Question

5．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$≥1．

Answer 1

分析 （I）利用综合法通过a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，相加，结合配方法证明即可．
（II）利用综合法$\frac{a^2}{b}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，$\frac{c^2}{a}+a≥2c$，相加，结合配方法证明即可．

解答 证明：（I）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
∵（a+b+c）²=1，∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
∴3（a²+b²+c²）≥1，即${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{3}$；…（5分）
（II）∵$\frac{a^2}{b}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，$\frac{c^2}{a}+a≥2c$，
∴$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+（a+b+c）≥2（a+b+c）$，即$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥a+b+c$，
∵a+b+c=1，∴$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥1$．…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，综合法的应用，同时考查配方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．