Question

如图：是y=f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的极小值点和单调区间
（2）求实数a的值和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先利用其导函数f′（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极小值点；
（2）由图知，f′（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可求实数a的值和极值．．

解答： 解：（1）由f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的导函数y=f′（x）的图象可知：导函数f′（x）小于0的解集是（1，3）；
函数f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．
即y=f（x）的极小值点是3，函数的单调减区间为（1，3）．单调增区间是（-∞，1），（3，+∞）；
（2）由于f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的导函数f′（x）=ax²-4x+3a²，
又由（1）知，f′（1）=0且f′（3）=0
则

a-4+3a2=0 9a-12+3a2=0

解得 a=1．
y_极大值=f（1）=

4

3

，y_极小值=f（3）=0．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题．