题目内容

在数列{an}中，a1=1，且对任意的n∈N+，都有．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意的n∈N+，Sn+1-4an都为定值．
【答案】分析：（1）由，知．由此能够证明数列是等差数列．
（2）由（1）知，故．所以．由错位相减法能够证明对任意的n∈N+，Sn+1-4an都为定值．
解答：证明：（1）∵，
∴．
∴数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
∴．
∴．…①
∴．…②
∴由②-①可得．
∴，
故对任意的n∈N+，Sn+1-4an都为定值．
点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的应用，综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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