Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；，是过点且相互垂直的两条直线，交椭圆E于，两点，交椭圆E于，两点，，的中点分别为，．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）求证直线与直线的斜率乘积为定值．

Answer 1

（1）． （2）． （3）

本试题主要是考出了椭圆方程的求解，已知直线与椭圆的位置关系的运用，求解直线的斜率问题，韦达定理的运用，以及判别式的综合运用。
（1）结合椭圆的性质，得到关于a,b,c的关系式，进而得到结论。
（2）设出直线方程，直线与椭圆的方程联立，得到关于未知数的一元二次方程，然后借助于韦达定理和判别式得到k的取值范围。
（3）利用两点式得到直线的斜率，借助于韦达定理求证其积为定值。
（1）设椭圆E的方程为，
由得所以所求椭圆E的标准方程为． …… 4分
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，由于，则，
由消去并化简整理，得， …… …… 6分
根据题意，，解得 ，同理可得，即，
∴有，解得．    …… 8分
（3）设，，，那么，
则 ，，即， 10分
同理可得，即，
∴ ，即直线与直线的斜率乘积为定值