Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，则平面B₁D₁E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为

1

3

．

Answer 1

分析：利用空间向量求二面角，先建立空间直角坐标系，求出各定点坐标，再求出平面B₁D₁E与平面ABCD的法向量，则法向量所成角就是两个平面所成角或其补角．求出两个平面的法向量，用向量的夹角公式求法向量所成角，再结合图象判断两平面所成角是锐角还是钝角．

解答：解：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1
则D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），E（

1

2

，1，0），

D1B1

=（1，1，0）

D1E

=（

1

2

，1，-1）
设平面B₁D₁E的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

D1B1

=0，

n

•

D1E

=0
即

x+y=0 1 2 x+y-z=0

取

n

=（2，-2，-1），
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的法向量为

DD1

，且

DD1

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

DD1

＞=

n  • DD1

| n || DD1 |

=

-1

9 1

=-

1

3

，
由图可知平面B₁D₁E与平面ABCD所成的二面角为锐角，
∴平面B₁D₁E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为

1

3

点评：本题主要考查空间向量法求平面所成角，关键是找两平面的法向量所成角，一定要注意判断两平面所成角等于法向量所成角，还是等于其补角．