Question

5．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，点E，F分别是棱PB，AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PBC；
（Ⅱ）求多面体PDFEC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PC中点M，连接EM，DM，则四边形EMDF是平行四边形，可得EF∥DM，由PD=CD可得DM⊥PC，从而推出EF⊥PC，连接BF，可通过计算证明PF=BF，由于E为PB中点，从而
EF⊥PB，推出EF⊥平面PBC；
（2）将多面体分解成棱锥F-PCD和棱锥F-PCE，它们的高分别是DF，EF，底面分别是Rt△PCD和△PCE，其中△PCE的面积是Rt△PBC的一半，带入体积公式计算．

解答 解：（1）取PC中点M，连接EM，DM，连接BF，
在Rt△PDF中，DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，∴PF=$\sqrt{P{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PF=BF，∵E是PB中点，∴EF⊥PB，
∵PD=CD，M是PC中点，∴DM⊥PC，
∵EM是△PBC的中位线，∴EM∥BC，EM=$\frac{1}{2}$BC，
∵DF∥BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EM∥DF，EM=DF，
∴四边形EMDF是平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊥PB，∴EF⊥PC．
∵PB?平面PBC，PC?平面PBC，PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（2）∵PD⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥DF，PD⊥CD，PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∵DF⊥CD，
∴DF⊥平面PCD，又∵BC∥DF，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，
∴V_棱锥F-PCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•PD•CD•DF=$\frac{1}{12}$．
∵E是PB的中点，∴S_△PEC=$\frac{1}{2}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•PC•BC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
连接BD，则BD=$\sqrt{2}$，∴PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵PF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PE=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴EF=$\sqrt{P{F}^{2}-P{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V_棱锥F-PCE=$\frac{1}{3}$S_△PCE•EF=$\frac{1}{12}$．
∴多面体PDFEC的体积=V_棱锥F-PCD+V_棱锥F-PCE=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定和空间几何体的体积，将所求多面体分解成规则结合体是解题关键，计算较多．