Question

(1)已知,求证：;
(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3ⁿ)，求证：
+++…+

Answer 1

(1)利用函数的单调性，alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1当a=b=c=时等号成立。
(2)证明：数学归纳法

试题分析：(1)证明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog₃a+blog₃b+clog₃c= alog₃a+blog₃b+(1-a-b) log₃(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log₃a-log₃(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，
f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；
f(a)≥f()="(1-b)" log₃+ blog₃b，记g(b)=" (1-b)" log₃+ blog₃b， 3分
得：g′(b)= log₃b-log₃，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，
 g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增； g(b)≥g()=-1。
alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1当a=b=c=时等号成立。5分
(2)证明：n=1时，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知
++≥-1成立，即n=1时，结论成立。
设n=k时结论成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k)时
+++…+≥-k.
那么，n=k+1时,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k+1)时，
令+…+=t，则++…+=1，由归纳假设：
++…+≥-k. 8分
 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t).
+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1)
设+…+=s，则+…+=t-s，++…+=1，
由归纳假设：++…+≥-k.
++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)
………(2) 10分
+…+=s，++…+=1；由归纳假设同理可得：
++…+ ≥-ks+ ss ……(3) 
将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：
++…++…++…+
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss 
而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。
-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。
++…++…+≥-(k+1)。
n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。 13分
点评：难题，利用已知a，b，c的关系，首先确定得到函数f(a)，从而利用导数研究函数的单调性，达到证明不等式的目的。（2）利用数学归纳法证明不等式，看似思路清晰，但在不等式变形过程中，困难重重。是一道比较难的题目。