Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（Ⅱ）求面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，   

解得      

，

其定义域为．  

（Ⅱ）记，则．

令，得．因为当时，；当时，，

所以是的最大值．                   

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．