Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．以AB为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）写出该半椭圆的方程；求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）设f（x）=S²，求f（x）的最大值，并求出此时的x值（均用r表示）

Answer 1

分析：（I）由题意，长半轴长为2r，短半轴长为r，可得半椭圆方程；设点C的纵坐标y，易知C点横坐标为x，从而可求面积S；
（II）f（x）=S²=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，求导函数，可求f（x）的最大值，并求出此时的x值．

解答：解：（I）由题意，长半轴长为2r，短半轴长为r，
∴半椭圆方程

x2

r2

+

y2

4r2

=1(y≥0)
设点C的纵坐标y，易知C点横坐标为x，则y=2

r2-x2

(0＜x＜r)，
从而S=2(x+r)•

r2-x2

，其定义域为{x|0＜x＜r}．
（II）f（x）=S²=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，
则f'（x）=8（x+r）²（r-2x）．
令f'（x）=0，得x=

1

2

r．
因为当0＜x＜

r

2

时，f'（x）＞0；当

r

2

＜x＜r时，f'（x）＜0，所以f(

1

2

r)是f（x）的最大值．
因此，当x=

1

2

r时，f（x）的最大值为

9

4

r4．

点评：本题考查椭圆方程，考查面积的计算，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．