题目内容

已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证：f(x)在R上满足f(－x)=－f(x)；

(2)若x＞0时，f(x)＜0，判断f(x)的单调性。

答案：
解析：

（1）证明：令x=y=0，可得f(0)=0，令y=－x，可得f(x)+f(－x)=f(x－x)=f(0)=0，所以－f(x)=f(－x).

(2)解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1)，

∵x2－x1＞0，∴x2－x1＞0，由条件知f(x2－x1)＜0，

∴f(x2)＜f(x1).

∴f(x)在R上是单调减函数。


练习册系列答案
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（2012•成都一模）已知函数f(x)=
3
inωxcosωx+1-sin2ωx的周期为2π，其中ω＞0．
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（II）在△ABC中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b，c若a=
3
，c=2，f（A）=
3
2
，求b的值．
（2012•德州一模）已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．
（2013•潍坊一模）已知函数f(x)=
3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2
(ω＞0，0＜φ＜
π
2
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π
2
，且过点(
π
3
，1)．
（I）函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=
5
，S△ABC=2
5
，角C为锐角．且满f(
C
2
-
π
12
)=
7
6
，求c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•台州一模）已知函数f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面积为
3
的△ABC中，若角A为锐角，f（A）=0，求A所对的边的取值范围．

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