Question

（2013•潍坊一模）已知函数f(x)=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin2

ωx+φ

2

(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)．其图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且过点(

π

3

，1)．
（I）函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=

5

，S△ABC=2

5

，角C为锐角．且满f(

C

2

-

π

12

)=

7

6

，求c的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

，结合图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

和点(

π

3

，1)在函数图象上，建立关于ω、φ的关系式，解之即可得到函数f（x）的达式；
（II）将

C

2

-

π

12

代入函数表达式，解出sinC=

2

3

，结合C为锐角，算出cosC=

5

3

．根据面积正弦定理公式，由S_△ABC=2

5

算出b=6，最后由余弦定理代入题中的数据即可求出边c的值．

解答：解：（I）∵sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

=

1

2

sin（ωx+φ），sin2

ωx+φ

2

=

1

2

[1-cos（ωx+φ）]
∴f(x)=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin2

ωx+φ

2

=

3

2

sin（ωx+φ）+

1

2

[1-cos（ωx+φ）]=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，∴函数的周期T=

2π

ω

=π，得ω=2
∵点(

π

3

，1)是函数图象上的点，
∴f（

π

3

）=sin（2×

π

3

+φ+

π

6

）+

1

2

=1，解之得cosφ=

1

2

∵φ∈（0，

π

2

），∴φ=

π

3

因此，函数f（x）的达式为f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

；
（II）f（

C

2

-

π

12

）=sin（C-

π

6

+

π

6

）+

1

2

=

7

6

，解之得sinC=

2

3

∵0＜C＜

π

2

，∴cosC=

1-(sinC)2

=

5

3

又∵a=

5

，S_△ABC=2

5

∴

1

2

×a×b×sinC=2

5

，即

1

2

×

5

×b×

2

3

=2

5

，解之得b=6
根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=5+36-2×

5

×6×

5

3

=21
∴c=

21

，即得c的值为

21

．

点评：本题给出三角函数式，根据函数的图象特征求函数表达式，并依此解三角形ABC的边c的长，着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．