题目内容
设数列{bn}满足：
，bn+1=bn2+bn，（1）求证：
；（2）若Tn=
+
+…+
，对任意的正整数n，3Tn-log2m-5＞0恒成立．求m的取值范围．
【答案】分析：（1））要证明
，只要能证bn+1=bn（bn+1），而 由已知：bn+1=bn2+bn，推导即可
（2）由（1）可求得
，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{bn}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可
解答：解：（1）∵
，bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），
∴对任意正整数n＞0，有
即：
．…（4分）
（2）Tn=（
）+（
）+…+（
）=
=2-
．…（7分）
∵b n+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{bn}是单调递增数列．
∴数列{Tn}关于n递增．∴Tn≥T1．…（10分）
∵
，∴
∴
…（12分）
∴
∵3Tn-log2m-5＞0恒成立，∴log2m＜3Tn-5恒成立，
∴log2m＜-3…（14分）
∴
．…（16分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，数列求和中的裂项求和，属于基本方法的应用．
，只要能证bn+1=bn（bn+1），而 由已知：bn+1=bn2+bn，推导即可（2）由（1）可求得
，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{bn}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可解答：解：（1）∵
，bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），∴对任意正整数n＞0，有
即：
．…（4分）（2）Tn=（
）+（
）+…+（
）=
=2-
．…（7分）∵b n+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{bn}是单调递增数列．
∴数列{Tn}关于n递增．∴Tn≥T1．…（10分）
∵
，∴
∴
…（12分）∴
∵3Tn-log2m-5＞0恒成立，∴log2m＜3Tn-5恒成立，
∴log2m＜-3…（14分）
∴
．…（16分）点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，数列求和中的裂项求和，属于基本方法的应用．
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