Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=5，S₅=35，设数列{b_n}满足a_n=log₂b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

分析：（1）由题意知

a1+d=5 5a1+10d=35

，解这个方程求出a₁，d，能够得到a_n．
（2）由a_n=log₂b_n得到bn=2an=22n+1，

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，所以Tn=23+25++22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)．
（3）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹+（2n+3）•2²ⁿ⁺³，两式相减得：-3G_n=3•2³+（2•2⁵+2•2⁷+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³，由此能导出G_n．

解答：解：（1）由题意得

a1+d=5 5a1+10d=35

，解得

a1=3 d=2

∴a_n=2n+1（5分）
（2）由a_n=log₂b_n得到bn=2an=22n+1，
∴

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，∴数列{b_n}是等比数列，其中b₁=8，q=4，
∴Tn=23+25++22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)．（10分）

（3）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹
∴4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹+（2n+3）•2²ⁿ⁺³
两式相减得：-3G_n=3•2³+（2•2⁵+2•2⁷+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
即：-3G_n=24+（2⁶+2⁸+2²ⁿ⁺²）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+

16(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)•22n+3
=

8-(48n+8)4n

3

∴Gn=

(48n+8)4n-8

9

．（15分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．